পৃষ্ঠাটি লোড হচ্ছে . . .
দয়াকরে অপেক্ষা করুন।
"লোডিং সময়" আপনার ইন্টারনেট স্পিড এর উপর নির্ভরশীল।
পৃষ্ঠাটি লোড হচ্ছে . . .
দয়াকরে অপেক্ষা করুন।
"লোডিং সময়" আপনার ইন্টারনেট স্পিড এর উপর নির্ভরশীল।
প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর অনুক্রমে তৃতীয় পদটি 20 এবং ষষ্ঠ (6-তম) পদটি 160 হলে প্রথম পদিট - ৩৭তম বিসিএস
| (ক) 8 | (খ) 5 |
| (গ) 7 | (ঘ) 10 |
উত্তর: 5
ধরি, গুণোত্তর প্রগতির প্রথম পদ \(a\) এবং সাধারণ অনুপাত \(q\)। আমরা জানি, \(n\)-তম পদ \(a_{n}=a\cdot q^{n-1}\) প্রশ্নানুসারে,\(aq^{2}=20\quad \dots \dots \dots (1)\)\(aq^{5}=160\quad \dots \dots \dots (2)\)এখন, সমীকরণ \((2)\)-কে সমীকরণ \((1)\) দ্বারা ভাগ করে পাই:\(\frac{aq^{5}}{aq^{2}}=\frac{160}{20}\)\(q^{3}=8\)\(q^{3}=2^{3}\)\(\mathbf{q=2}\)\(q\)-এর মান সমীকরণ \((1)\)-এ বসিয়ে পাই:\(a(2)^{2}=20\)\(4a=20\)\(a=\frac{20}{4}\)\(\mathbf{a=5}\)Answer: গুণোত্তর প্রগতির প্রথম পদ \(\mathbf{a=5}\) এবং সাধারণ অনুপাত \(\mathbf{q=2}\)।
প্রশ্ন লিস্ট করে পড়তে লগইন করুন।
প্রশ্ন: 17 সে.মি., 15 সে.মি., 8 সে.মি. বাহু বিশিষ্ট ত্রিভুজটি হবে- ৩৭তম বিসিএস
| (ক) সমবাহু | (খ) স্থূলকোণী |
| (গ) সমকোণী | (ঘ) সমদ্বিবাহু |
উত্তর: সমকোণী
ধরি, ত্রিভুজের বাহু তিনটি হলো \(a=15\), \(b=8\) এবং \(c=17\)। পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী, \(a^{2}+b^{2}=c^{2}\) হলে ত্রিভুজটি সমকোণী হবে। ১. প্রথম দুই বাহুর বর্গের যোগফল:\((15)^{2}+(8)^{2}=225+64=289\)২. বৃহত্তম বাহুর বর্গ:\((17)^{2}=289\)সিদ্ধান্ত:যেহেতু \((15)^{2}+(8)^{2}=(17)^{2}\), অর্থাৎ ২৮৯ = ২৮৯, তাই ত্রিভুজটি অবশ্যই একটি সমকোণী ত্রিভুজ।
প্রশ্ন লিস্ট করে পড়তে লগইন করুন।
প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য 15 মি. এবং প্রস্থ 10 মি. হলে আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার? ৩৭তম বিসিএস
| (ক) 50√5 | (খ) 30√5 |
| (গ) 40√5 | (ঘ) 20√5 |
উত্তর: 50√5
Step 1: পিথাগোরাসের উপপাদ্য ব্যবহার করে \(BC\) বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয় একটি আয়তক্ষেত্রের কর্ণ এবং দুটি সন্নিহিত বাহু একটি সমকোণী ত্রিভুজ গঠন করে। এখানে অতিভুজ (কর্ণ) \(15\) মিটার এবং একটি বাহু \(AB=10\) মিটার হলে, অপর বাহু \(BC\) হবে:\(BC=\sqrt{15^{2}-10^{2}}\)\(BC=\sqrt{225-100}\)\(BC=\sqrt{125}\)\(BC=5\sqrt{5}\)Step 2: আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় আমরা জানি, আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য \(\times \) প্রস্থ।\(=AB\times BC\)\(=10\times 5\sqrt{5}\)\(=50\sqrt{5}\)
প্রশ্ন লিস্ট করে পড়তে লগইন করুন।
প্রশ্ন: 13 সে.মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের একটি জ্যা-এর দৈর্ঘ্য 24 সে.মি হলে কেন্দ্র থেকে উক্ত জ্যা-এর লম্ব দূরত্ব কত সে.মি.? ৩৭তম বিসিএস
| (ক) 5 | (খ) 6 |
| (গ) 7 | (ঘ) 8 |
উত্তর: 5
১৩ সে.মি. ব্যাসার্ধের বৃত্তে ২৪ সে.মি. দৈর্ঘ্যের জ্যা-এর কেন্দ্র থেকে লম্ব দূরত্ব হলো ৫ সে.মি., যা পিথাগোরাসের উপপাদ্য ব্যবহার করে বের করা যায়: ব্যাসার্ধ (১৩ সে.মি.) কে অতিভুজ এবং জ্যা-এর অর্ধেক (১২ সে.মি.) কে ভূমি ধরে লম্ব দূরত্ব নির্ণয় করলে \(13^{2}=12^{2}+{}^{2}\) থেকে দূরত্ব = ৫ সে.মি. পাওয়া যায়
প্রশ্ন লিস্ট করে পড়তে লগইন করুন।
প্রশ্ন: A = {x| x ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা এবং x² < 25}, B = {x| x মৌলিক সংখ্যা এবং x² < 25}, C = {x| x মৌলিক সংখ্যা এবং x² = 25}, হলে, A ∩ B ∩ C = ? ৩৭তম বিসিএস
| (ক) ∅ | (খ) {2,3,4} |
| (গ) {1,2,3,4} | (ঘ) {2,3,4,5} |
উত্তর: ∅
A = {1,2,3,4}
B = {2,3}
C = {5}
A∩B∩C={}
প্রশ্ন লিস্ট করে পড়তে লগইন করুন।
প্রশ্ন: 10 টি জিনিসের মধ্যে 2 টি এক জাতীয় এবং বাকীগুলো ভিন্ন ভিন্ন জিনিস। ঐ জিনিসগুলো থেকে প্রতিবারে 5 টি নিয়ে কত প্রকারে বাছাই করা যায়? ৩৭তম বিসিএস
| (ক) 192 | (খ) 182 |
| (গ) 170 | (ঘ) 190 |
উত্তর: 182
১০টি জিনিসের মধ্যে ২টি একজাতীয় এবং বাকি (১০-২) = ৮টি ভিন্ন ভিন্ন। ৫টি জিনিস বাছাই করার মোট উপায় হবে: ২টি একজাতীয় এবং ৩টি ভিন্ন জিনিস: \({}^{8}C_{3}\)১টি একজাতীয় এবং ৪টি ভিন্ন জিনিস: \({}^{8}C_{4}\)০টি একজাতীয় এবং ৫টি ভিন্ন জিনিস: \({}^{8}C_{5}\) ২. গাণিতিক সমাধান:\(\sum _{i=0}^{2}{}^{10-2}C_{5-i}={}^{8}C_{5-0}+{}^{8}C_{5-1}+{}^{8}C_{5-2}\)\(={}^{8}C_{5}+{}^{8}C_{4}+{}^{8}C_{3}\)৩. মান নির্ণয়: \({}^{8}C_{5}=\frac{8\times 7\times 6}{3\times 2\times 1}=56\)\({}^{8}C_{4}=\frac{8\times 7\times 6\times 5}{4\times 3\times 2\times 1}=70\)\({}^{8}C_{3}=\frac{8\times 7\times 6}{3\times 2\times 1}=56\)সর্বমোট উপায়: \(56+70+56=182\)
প্রশ্ন লিস্ট করে পড়তে লগইন করুন।
প্রশ্ন: একটি থলিতে 6 টি নীল বল, 8 টি সাদা বল এবং 10 টি কালো বল আছে। দৈবভাবে একটি বল তুললে সেটি সাদা না হবার সম্ভাবনা কত? ৩৭তম বিসিএস
| (ক) \(\frac{1}{4}\) | (খ) \(\frac{1}{3}\) |
| (গ) \(\frac{2}{3}\) | (ঘ) \(\frac{3}{2}\) |
উত্তর: \(\frac{2}{3}\)
একটি থলিতে ৬টি নীল বল, ৮টি সাদা বল এবং ১০টি কালো বল আছে। মোট বলের সংখ্যা:
6+8+10=24 টি বল
সাদা বলের সংখ্যা = ৮টি
সাদা না হওয়ার সম্ভবনা নির্ণয় করতে হলে, সাদা বল বাদে বাকি বলগুলির সংখ্যা গণনা করতে হবে:
সাদা না হওয়া বলের সংখ্যা = ২৪ − ৮ = ১৬টি বল
সাদা না হওয়ার সম্ভাবনা হবে:
সাদা না হওয়া বলের সংখ্যা/ মোট বলের সংখ্যা =
\(\frac{16}{24}\)=\(\frac{2}{3}\)
প্রশ্ন লিস্ট করে পড়তে লগইন করুন।
প্রশ্ন: A={ \({x}\) : \({x}\) Fibonacci সংখ্যা এবং \({x^2}\) < 64 } হলে, P(A) এর উপাদান সংখ্যা কয়টি ? ৩৮তম বিসিএস
| (ক) 128 | (খ) 256 |
| (গ) 64 | (ঘ) 32 |
উত্তর: 32
ফিবোনাচ্চি (Fibonacci) সংখ্যার সেটটি হলো: {০, ১, ১, ২, ৩, ৫, ৮, ১৩, ২১, ...}। দেওয়া আছে, \(x^{2}<64\), অর্থাৎ \(x<8\)। শর্তানুযায়ী সেট A-এর উপাদানগুলো হলো: {০, ১, ২, ৩, ৫}।এখানে সেট A-এর উপাদান সংখ্যা, \(n=5\)। আমরা জানি, কোনো সেটের উপাদান সংখ্যা \(n\) হলে, তার শক্তি সেট বা P(A)-এর উপাদান সংখ্যা হবে \(2^{n}\)। সুতরাং, P(A)-এর উপাদান সংখ্যা = \(2^{5}=32\)
প্রশ্ন লিস্ট করে পড়তে লগইন করুন।
প্রশ্ন: 4 জন মহিলা ও 6 জন পুরুষের মধ্য থেকে 4 সদস্যবিশিষ্ট একটি উপকমিটি গঠন করতে হবে যাতে 1 জন নির্দিষ্ট সর্বদাই উপস্তিত থকেন। কত প্রকারের ঐ কমিটি গঠন করা যেতে পারে? ৩৮তম বিসিএস
| (ক) 168 | (খ) 210 |
| (গ) 84 | (ঘ) 310 |
উত্তর: 84
৪ জন মহিলা ও ৬ জন পুরুষ থেকে ৪ সদস্যের কমিটি গঠন করতে হবে যেখানে ১ জন নির্দিষ্ট ব্যক্তি (পুরুষ বা মহিলা) সবসময় থাকবেন, সেক্ষেত্রে মোট ৩৫ প্রকারের কমিটি গঠন করা যাবে, কারণ নির্দিষ্ট ব্যক্তিকে রেখে বাকি ৩ সদস্যকে ১০ জন (৬ পুরুষ + ৪ মহিলা - ১ নির্দিষ্ট) থেকে নির্বাচন করতে হবে, যা \({10 \choose 3}\) বা \({}^{10}C_{3}\) সূত্র অনুযায়ী হয়। ধাপসমূহ: মোট সদস্য সংখ্যা: ৪ জন মহিলা + ৬ জন পুরুষ = ১০ জন।নির্দিষ্ট সদস্য: ১ জন নির্দিষ্ট ব্যক্তি (ধরা যাক, তিনি পুরুষ) কমিটিতে থাকবেনই।বাকি সদস্য: ৪ সদস্যের কমিটি তৈরি করতে হবে, ১ জন নির্দিষ্ট ব্যক্তি ইতিমধ্যেই নির্বাচিত, তাই বাকি ৩ জন সদস্য নির্বাচন করতে হবে।বাকিদের থেকে নির্বাচন: নির্দিষ্ট ব্যক্তি বাদে বাকি রইলেন (১০ - ১) = ৯ জন (৩ জন মহিলা এবং ৫ জন পুরুষ, যদি নির্দিষ্ট ব্যক্তি পুরুষ হন; অথবা ৩ জন পুরুষ এবং ৩ জন মহিলা যদি নির্দিষ্ট ব্যক্তি মহিলা হন - তবে মোট সংখ্যা ৯)।সম্ভাব্য কমিটি সংখ্যা: ৯ জন থেকে ৩ জনকে কতভাবে নির্বাচন করা যায়, তা নির্ণয় করতে হবে:\({}^{9}C_{3}=\frac{9!}{3!(9-3)!}=\frac{9!}{3!6!}=\frac{9\times 8\times 7}{3\times 2\times 1}=3\times 4\times 7=84\)
প্রশ্ন লিস্ট করে পড়তে লগইন করুন।
প্রশ্ন: 30 থেকে 40 পর্যন্ত সংখ্যা থেকে যে কোন একটিকে ইচ্ছেমত নিলে সে সংখ্যা মৌলিক অথবা 5 এর গুণিতক হওয়ার সম্ভাবনা কত ? ৩৮তম বিসিএস
| (ক) \(\frac{2}{3}\) | (খ) \(\frac{5}{11}\) |
| (গ) \(\frac{5}{11}\) | (ঘ) \(\frac{11}{5}\) |
উত্তর: \(\frac{5}{11}\)
30 থেকে 40 পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যাগুলো : 31, 37; এবং 5 এর গুণিতক সংখ্যাগুলো : 30 , 35, 40
∴ 30 থেকে 40 পর্যন্ত মোট সংখ্যা 11 টি
∴ P( সংখ্যাটি মৌলিক অথবা 5 এর গুণিতক) = (2 + 3)/11 = 5/11
প্রশ্ন লিস্ট করে পড়তে লগইন করুন।
প্রশ্ন: টাকায় 5 টি মার্বেল বিক্রয় করায় 12% ক্ষতি হয়। 10% লাভ করতে হলে টাকায় কয়টি বিক্রয় করতে হবে? ৩৮তম বিসিএস
| (ক) 3 | (খ) কোনটিই নয় |
| (গ) 2 | (ঘ) 4 |
উত্তর: 4
ক্রয়মূল্য 100 টাকা হলে,
12% ক্ষতিতে বিক্রয়মূল্য (100 - 12) টাকা = 88 টাকা
∴ 1 টাকায় বিক্রয় করে=5 টি মার্বেল
∴ 88টাকায় বিক্রয় করে=88*5=440 টি মার্বেল
আবার, ক্রয়মূল্য 100 টাকা হলে,
10% লাভে বিক্রয়মূল্য =100+10= 110 টাকা
110 টাকায় বিক্রয় করতে হবে =440 টি মার্বেল
∴ 1 টাকায় বিক্রয় করতে হবে = 440/110 টি মার্বেল
= 4 টি মার্বেল
প্রশ্ন লিস্ট করে পড়তে লগইন করুন।
প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার অনুপাত 2 : 3 এবং গ সা গু 4 হলে বৃহত্তর সংখ্যাটি কত? ৩৮তম বিসিএস
| (ক) 12 | (খ) 8 |
| (গ) 4 | (ঘ) 16 |
উত্তর: 12
দুটি সংখ্যার অনুপাত 2 : 3 এবং গ.সা.গু (GCD) 4 হলে, বৃহত্তর সংখ্যাটি হবে 12, কারণ সংখ্যা দুটিকে \(2x\) ও \(3x\) ধরলে, \(x\)-এর মান হয় 4 এবং বৃহত্তর সংখ্যা \(3x=3\times 4=12\) হয়
প্রশ্ন লিস্ট করে পড়তে লগইন করুন।
প্রশ্ন: কোন আসল 3 বছরে মুনাফা- আসলে 5500 টাকা হয়। মুনাফা- আসলে 3/4 অংশ হলে মুনাফার হার কত? ৩৮তম বিসিএস
| (ক) 15% | (খ) 12.5% |
| (গ) 12% | (ঘ) 10% |
উত্তর: 12.5%
ধরি, আসল = ৮ক টাকা
মুনাফা = ( ৩/৮ × ৮ক) টাকা
= ৮ক টাকা
প্রশ্নমতে, ৮ক + ৩ক = ৫৫০০
১১ ক = ৫৫০০
ক = ৫০০
আসল = ( ৮ × ৫০০) টাকা = ৪, ০০০ টাকা
মুনাফা = ( ৩ × ৫০০) টাকা = ১৫০০ টাকা
৪০০০ টাকায় ৩ বছরের মুনাফা = ১৫০০ টাকা
১০০ টাকায় ১ বছরের মুনাফা = ( ১৫০০× ১০০)/( ৪০০০× ৩) = ১২.৫ টাকা
সুদের হার = ১২.৫%
প্রশ্ন লিস্ট করে পড়তে লগইন করুন।
প্রশ্ন: মি: রেজা তার সম্পদের 12% স্ত্রীকে, 58% ছেলেকে এবং অবশিষ্ট 720000/- টাকা মেয়েকে দিলেন। তার সম্পত্তির মোট মূল্য কত ? ৩৮তম বিসিএস
| (ক) 2400000 | (খ) 1600000 |
| (গ) 1200000 | (ঘ) 2000000 |
উত্তর: 2400000
স্ত্রী ও ছেলেকে দিয়েছে = (১২+৫৮) = ৭০%
স্ত্রী ও ছেলেকে সম্পদ দেওয়ার পর অবশিষ্ট সম্পদের পরিমাণ(১০০-৭0)%=৩0%
৩০% সম্পদের মূল্য = ৭২০০০০ টাকা
১০০% সম্পদের মূল্য = ৭২০০০০×১০০/৩০ = ২৪০০০০০টাকা
প্রশ্ন লিস্ট করে পড়তে লগইন করুন।
প্রশ্ন: \(x=\sqrt{3}+\sqrt{2}\) হলে, \(x^{3}+\frac{1}{x^{3}}\) ৩৮তম বিসিএস
| (ক) 18√3 | (খ) 3√2 |
| (গ) 12√3 | (ঘ) 8 |
উত্তর: 18√3
\(x=\sqrt{3}+\sqrt{2}\) হলে \(x^{3}+\frac{1}{x^{3}}\) বের করার শর্টকাট পদ্ধতি:
১. টেকনিক:
যদি \(x=\sqrt{a}+\sqrt{b}\) হয় এবং \(a\) ও \(b\) এর পার্থক্য \(1\) হয় (যেমন: \(3-2=1\)), তবে: \(x+\frac{1}{x}=2\times (\text{\ })=2\sqrt{3}\)
মান হবে: \(k^{3}-3k\) (যেখানে \(k=x+\frac{1}{x}\))
২. সরাসরি হিসাব:
১. \(k=2\sqrt{3}\)২. মান \(=(2\sqrt{3})^{3}-3(2\sqrt{3})\)
৩. মান \(=24\sqrt{3}-6\sqrt{3}=\mathbf{18}\sqrt{\mathbf{3}}\)
এক কথায় মনে রাখুন: বড় সংখ্যার ডাবলকে \(k\) ধরে \(k^{3}-3k\) ই হলো উত্তর।
প্রশ্ন লিস্ট করে পড়তে লগইন করুন।